Sistem persamaan kuadrat kuadrat

 

Sistem persamaan kuadrat kuadrat

   SPKK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel. SPKK memiliki beberapa macam bentuk, tetapi dalam artikel ini kita akan lebih banyak membahas bentuk yang paling sederhana, yaitu kedua persamaan kuadrat berbentuk eksplisit. Bentuk umumnya adalah sebagai berikut

y = ax2 + bx + c ……………. (bagian kuadrat pertama)

y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat kedua)

Dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Ketiga macam penyelesaian ini diperoleh dari analisa diskriminan (D) hasil substitusi kedua persamaan kuadrat tersebut, yakni :

Jika D > 0 maka sistem persamaan mempunyai dua titik penyelesaian

Jika D = 0 maka sistem persamaan mempunyai dua titik penyelesaian

Jika D < 0 maka sistem persamaan mempunyai dua titik penyelesaian

Secara umum, untuk memperoleh penyelesaian SPKK dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1:

Subtitusikan bagian kuadrat persamaan pertama ke bagian kuadrat yang kedua atau sebaliknya sehingga diperoleh persamaan kuadrat baru.

Langkah 2:

Selesaikan persamaan kuadrat baru yang diperoleh pada langkah pertama.

Langkah 3:

Subtitusikan nilai x yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan pertama atau persamaan kedua. Untuk mempermudah perhitungan, silahkan kalian pilih persamaan kuadrat yang lebih sederhana.

Contoh Soal 1:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2

y = 2x2 – 3x

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x sehingga diperoleh:

⇒ x2 = 2x2

⇒ 2x2 – x2 – 3x = 0

⇒ x2 – 3x = 0

⇒ x(x – 3) = 0

⇒ x = 0 atau x = 3

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama 

y = x2.

■ Untuk x = 0 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (0)2

⇒ y = 0

■ Untuk x = 3 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (3)2

⇒ y = 9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola y = 2x2 – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.

Contoh Soal 2:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2 – 1

y = x2 – 2x – 3

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh:

⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3

⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1

⇒ 2x = –2

⇒ x = –1

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 1

⇒ y = (–1)2 – 1

⇒ y = 1 – 1

⇒ y = 0

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini.

Contoh Soal 3:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = −2x2

y = x2 + 2x + 1

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = −2x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 + 2x + 1 sehingga diperoleh:

⇒ −2x2 = x2 + 2x + 1

⇒ 2x2 + x2 + 2x + 1 = 0

⇒ 3x2 + 2x + 1 = 0

Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real karena nilai diskriminannya adalah bilangan negatif. Perhatikan perhitungan berikut ini.

D = b2 – 4ac

Dengan a = 3, b = 2 dan c = 1 sehingga:

⇒ D = (2)2 – 4(3)(1)

⇒ D = 4 – 12

⇒ D = –8

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah himpunan kosong atau ditulis sebagai {∅}. Tafsiran geometrisnya adalah grafik parabola y = −2x2 dan y = x2 + 2x + 1 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut ini.

Contoh Soal 4:

Misalkan diketahui SPKK berikut ini.

y = 3x2 + m

y = x2 – 2x – 8

■ Tentukan nilai m agar SPKK tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.

■ Tentukan himpunan penyelesaian yang dimaksud itu.

Jawab:

Banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari suatu SPKK ditentukan berdasarkan nilai diskriminan, dengan kriteria sebagai berikut.

1. Jika D > 0, SPKK mempunyai dua himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di dua titik).

2. Jika D = 0, SPKK mempunyai satu himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di satu titik atau saling bersinggungan).

3. Jika D < 0, SPKK tidak mempunyai himpunan penyelesaian (parabola tidak berpotongan atau bersinggungan).

Dengan demikian, agar SPKK tersebut tepat memiliki satu himpunan penyelesaian maka nilai diskriminan dari persamaan kuadrat gabungan harus sama dengan nol. Persamaan kuadrat gabungan didapat dengan mensubtitusikan persamaan kuadrat y = 3x2 + m ke persamaan kuadrat y = x2 – 2x – 8 sehingga diperoleh:

⇒ 3x2 + m = x2 – 2x – 8

⇒ 3x2 – x2 + 2x + 8 + m = 0

⇒ 2x2 + 2x + (8 + m) = 0

Dari sini kita peroleh persamaan kuadra gabungan, dengan nilai a = 2, b = 2 dan c = 8 + m. Agar persamaan kuadrat ini hanya memiliki satu himpunan penyelesaian maka D = 0, sehingga:

⇒ b2 – 4ac = 0

⇒ (2)2 – 4(2)(8 + m) = 0

⇒ 4 – 8(8 + m) = 0

⇒ 4 – 64 – 8m = 0

⇒ –60 – 8m = 0

⇒ 8m = –60

⇒ m = –60/8

⇒ m = –15/2

⇒ m = –7,5

Dengan demikian nilai m adalah –7,5.

Sekarang masukkan nilai m yang telah diperoleh ke persamaan kuadrat gabungan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut.

⇒ 2x2 + 2x + (8 + m) = 0

⇒ 2x2 + 2x + ((8 + (–7,5)) = 0

⇒ 2x2 + 2x + 0,5 = 0

Untuk menghilangkan desimal, kedua ruas kita kalian 2

⇒ 4x2 + 4x + 1 = 0

Kemudian, kita faktorkan untuk memperoleh nilai x

⇒ (2x + 1)2 = 0

⇒ (2x + 1) = 0

⇒ 2x = −1

⇒ x = −1/2

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = −1/2 ke persamaan y = x2 – 2x – 8 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 2x – 8

⇒ y = (−1/2)2 – 2(−1/2) – 8

⇒ y = 1/4 + 1 – 8

⇒ y = 1/4 –7

⇒ y = −27/4

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(−1/2, −27/4)}

Contoh Soal 5 :

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika diketahui persamaan y =  5x² dan y = 6x² – 7x?

Pembahasan.

Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = 5x² ke y = 6x² – 7x. Untuk itu hasilnya akan menjadi:

               5x² = 6x² – 7x

6x² – 5x² – 7x = 0

          x² – 7x = 0

         x(x – 7) = 0

  x = 0 atau x = 7

Selanjutnya nilai x di atas disubtsitusikan ke persamaan y =  5x². Maka :

Untuk x = 0 → y = 5x²

                      y = 5(0)²

                      y = 0

Untuk x = 7 → y = 5x²

                      y = 5(7)²

                      y = 245

Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah { (0, 0), (7, 245)}.

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika persamaannya y = x² – 3 dan y = x² – 2x – 9?

Pembahasan.

Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = x² – 3 ke y = x² – 2x – 9. Untuk itu hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:

  x² – 3 = x² – 2x – 9

x² – x² = -2x – 9 + 3

      2x = -6

        x = -3

Setelah itu x = -3 disubstitusikan ke y = x² – 3. Maka:

y = x² – 3

y = (-3)² – 3

y = 6

Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {(-3, 6)}.

Contoh Soal 6:

Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika persamaannya y = -4x² dan y = x² + 4x + 3?

Pembahasan.

Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = -4x² ke y = x² + 4x + 3. Untuk itu hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:

                    -4x² = x² + 4x + 3 

x² + 4x² + 4x + 3 = 0

        5x² + 4x + 3 = 0

Langkah selanjutnya menggunakan cara diskriminan untuk menyelesaikan persamaan di atas. Maka:

5x² + 4x + 3 = 0, dimana a = 5, b = 4 dan c = 3

D = b² – 4ac

D = (4)² – 4(5)(3)

D = 16 – 60

D = -44

Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {∅} atau himpunan kosong karena 

D < 1.

Contoh Soal 7:

Diketahui persamaan y = x² dan y = 4x² – 5x. Hitunglah himpunan penyelesaian SPKK tersebut?

Jawaban.

Bagian kuadrat pertama y = x² disubstitusikan ke bagian kuadrat kedua y = 4x² – 5x. Maka hasilnya:

                 x² = 4x² – 5x

4x² – x² – 5x = 0

       3x² – 5x = 0

        x(x – 5) = 0

         x = 0 at au x = 5

Nilai x = 0 dan x = 5 kemudian disubstitusikan ke kuadrat bagian pertama y = x². Sehingga,

Untuk x = 0 → y = x²

                           y = 0²

                           y = 0

Untuk x = 5 → y = x²

                           y = 5²

                           y = 25

Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {(0, 0), (5, 25)}

Contoh Soal 8 :

Diketahui persamaan y = x² – 2 dan y = x² – 3x – 8. Hitunglah himpunan penyelesaian SPKK tersebut?

Jawaban.

Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan cara seperti berikut:

Bagian kuadrat pertama y = x² – 2 disubstitusikan ke bagian kuadrat kedua y = x² – 3x – 8. Maka hasi lnya:

 x² – 2 = x² – 3x – 8

x² – x² = -3x – 8 + 2

      3x = -6

        x = -2

Nilai x = -2 disubstitusikan ke y = x² – 2, maka:

y = x² – 2

y = (-2)² – 2

y = 4 – 2

y = 2

Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {(-2. 2)}.

Contoh Soal 9:

Diketahui persamaan y = -3x² dan y = x² + 3x + 2. Hitunglah himpunan penyelesaian SPKK tersebut?

Jawaban.

Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan cara tertentu. Berikut cara menyelesaikan contoh soal SPKK ini yaitu:

Bagian kuadrat pertama y = -3x² disubstitusikan ke bagian kuadrat kedua y = x² + 3x + 2. Maka hasilnya:

                      -3x² = x² + 3x + 2

3x² + x² + 3x + 2 = 0

          4x² + 3x  + 2 = 0

Cara menyelesaikan sistem persamaan kuadrat kuadrat selanjutnya menggunakan konsep diskriminan karena akar akar real tidak dimiliki oleh persamaan kuadrat di atas. Untuk itu diskriminannya akan memiliki nilai bilangan negatif, maka hasilnya:

4x² + 3x + 2 = 0, dimana a = 4, b = 3 dan c = 2

D = b² – 4ac

D = (3)² – 4(4)(2)

D = 9 – 32

D = -23

Contoh Soal 10 :

Tentukan nilai a agar sistem persamaan y = ax2 + 2x - 7 dan y = 3x2 - 4x + 8, himpunan penyelesaianya adalah himpunan kosong ({ }).

Penyelesaian

y = ax2 + 2x - 7

y = 3x2 - 4x + 8

Substitusi y = ax2 + 2x - 7 ke y = 3x2 - 4x + 8 maka,

ax2 + 2x - 7 = 3x2 - 4x + 8

ax2 + 2x - 7 - 3x2 + 4x - 8 = 0

ax2 - 3x2 + 6x - 15 = 0

(a - 3)x2 + 6x - 15 = 0

Agar mempunyai penyelesaian maka nilai diskrimanan dari persamaan kuadrat di atas harus kurang dari nol (D  < 0) maka

62 - 4(a - 3)(-15) < 0

36 + 60a - 180 < 0

60a - 144 < 0

60a < 144

a < 144/60

a < 12/5

Jadi, nilai a agar penyelesaian sistem persamaannya himpunan kosong adalah a < 12/5

Contoh Soal 11:

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

y = x2 + 4x - 7

y = 9 - x2

Penyelesaian

y = x2 + 4x - 7

y = 9 - x2

Substitusi persamaan kuadrat y = x2 + 4x - 7 ke persamaan kuadrat y = 9 - x2 maka,

x2 + 4x - 7 = 9 - x2

x2 + 4x - 7 - 9 + x2 = 0

2x2 + 4x -16 = 0

x2 + 2x - 8 = 0 (kedua ruas dibagi 2)

(x + 4)(x - 2) = 0

x + 4 = 0 atau x - 2 = 0

x = -4 x = 2

Substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan dalam hal ini digunakan y = 9 - x2

x = -4 --> y = 9 - (-4)2 = 9 - 16 = -7

x = 2 --> y = 9 - 22 = 9 - 4 = 5

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-4, -7), (2, 5)}

Sumber : https://blogmipa-matematika.blogspot.com

https://www.materimatika.com

https://www.antotunggal.com

https://www.rpp.co.id

https://madematika.net